MENENTUKAN FPB DAN KPK

Beberapa konsep dasar yang sering tidak dipahami secara tuntas di jenjang SD baik oleh guru maupun oleh siswa sendiri. Beberapa materi ini juga menjadi materi prasyarat dari konsep KPK dan FPB yang akan kita kaji mendalam untuk menemukan beberapa metode yang tidak lazim digunakan di tingkat sekolah dasar dan menengah.

KETERBAGIAN                                                                                                                                         

Defenisi:

“Bilangan bulat b disebut terbagi oleh bilangan bulat a, jika ada bilangan bulat x sehingga b=ax, dapat ditulis sebagai a b untuk “a membagi b” atau “b terbagi a“.

Catatan: istilah “membagi” dan “terbagi” di sini diartikan “membagi habis” atau “terbagi habis” sehingga tidak ada sisa (tak bersisa)

Untuk b = ax, maka

- a di sebut faktor b, atau pembagi b.

- b di sebut juga kelipatan a.

- x di sebut hasil bagi (untuk a 0)

Contoh :

§ 6 membagi 24 atau 24 terbagi 6 karena ada bilangan x sehingga 24 = 6 . x (dimana x = 4, merupakan hasil bagi).

§ 4 tidak membagi 30 karena tidak ada bilangan x, sehingga 30 = 4.x (tidak ada nilai x yang memenuhi)

ALGORITMA PEMBAGIAN

Teorema:

Untuk bilangan bulat sebarang a dan b dengan a>0, ada bilangan bulat q dan r sehingga:

b = qa + r dengan 0 r a.

di mana bilangan r disebut sisa pembagian b oleh a dan q disebut sisa hasil bagi b oleh a.

Suatu algoritma adalah suatu cara memperoleh suatu hasil dengan menerapkan berkali-kali suatu operasi, sedemikian sehingga sebuah unsur yang di dapat dari satu kali menerapkan operasi itu dipakai paling kurang satu kali dalam terapan berikutnya, hingga diperoleh hasil yang diinginkan. Algoritma pembagian ini di tingkat sekolah dasar dan menengah di sebut Teorema Sisa.

PEMBAGI BERSAMA

Istilah pembagi bersama di tingkat sekolah dasar dan menengah lebih lazim di kenal dengan faktor persekutuan.

Defenisi:

Suatu bilangan bulat a disebut pembagi bersama b dan c, jika a membagi b dan a membagi c (aIb dan aIc)

Tiap bilangan bulat tak nol hanya memiliki sejumlah terbatas pembagi saja (faktor saja), sehingga banyaknya pembagi bersama untuk b dan c hanya ada sejumlah terbatas saja, kecuali untuk kasus b = c = 0.

Bilangan 1 akan membagi tiap bilangan. Maka 1 merupakan pembagi bersama dua bilangan bulat sembarang a dan b sehingga tiap pasang bilangan bulat akan selalu memiliki pembagi bersama (faktor persekutuan).

Jika paling kurang satu diantara bilangan-bilangan bulat b dan c adalah tidak nol maka yang terbesar di antara pembagi-pembagi bersamanya yang positif disebut Pembagi Bersama Terbesar (PBT) b dan c. dapat di tulis (b,c) sebagai PBT b dan c. Istilah Pembagi Bersama Terbesar (PBT) di SD di sebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

Teorema:

Jika (b,c) = g, yaitu g PBT untuk b dan c maka berlaku “g membagi b” dan “g membagi c”. jika ada h yang membagi b dan c, maka h ≤ g

KELIPATAN BERSAMA

Defenisi:

Bilangan-bilangan bulat a_1, a₂, a₃,…….,a_n, masing-masing tak nol, memiliki kelipatan bersama bersama b, jika a_ib untuk i = 1, 2, 3, …………..,n.

Untuk bilangan-bilangan bulat a_1, a₂, a₃,…….,a_n, masing-masing tak nol, Kelipatan Bersama Terkecil (KBT) mereka adalah bilangan positif yang terkecil diantara kelipatan-kelipatan bersama untuk a_1, a₂, a₃,…….,a_n, itu. Kita lambangkan [a₁,a₂] sebagai KBT a₁ dan a₂ dan [a_1, a₂, a₃,…….,a_n] sebagai KBT dari a_1, a₂, a₃,…….,a_n.

Teorema:

Jika b suatu kelipatan bersama a_1, a₂, a₃,…….,a_n maka [a_1, a₂, a₃,…….,a_n]Ib. dengan kata lain, jika h KBT untuk a_1, a₂, a₃,…….,a_n yaitu h =[ a_1, a₂, a₃,…….,a_n,] maka 0, ± h, ±2h, ±3h, …. Merupakan kelipatan-kelipatan bersama a_1, a₂, a₃,…….,a_n. Bilangan b tadi salah satu dari kelipatan-kelipatan itu.

Istilah Kelipatan Bersama Terkecil (KBT) pada jenjang SD disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).

BILANGAN PRIMA (BASIT)

Defenisi:

Sebuah bilangan bulat P > 1 dinamakan bilangan Prima (P prima) jika tidak ada bilangan d pembagi p, yang memenuhi 1<d<p. Defenisi ini di tingkat SD disederhanakan menjadi bilangan Prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi 1 dan dengan bilangan itu sendiri. Bilangan yang bukan prima di sebut bilangan komposit.

Yang menjadi permasalahan kadang kala di jenjang SD adalah bagaimana membuktikan bilangan itu sebagai bilangan prima atau bukan prima (komposit). Untuk membantu menjawab permasalahan ini, kita memerlukan beberapa teorema dalam hal ini.

Tiap bilangan bulat n > 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima (teorema).

Teorema ini akan sangat membantu kita menemukan apakah bilangan itu prima atau bukan prima.

- Jika n adalah bilangan prima maka n adalah faktor primanya sendiri.

- Jika n adalah bilangan komposit, misalnya n = n₁n₂ dengan 1<n₁<n dan 1<n₂<n.

Jadi tiap bilangan n dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Karena faktor-faktor yang prima itu mungkin tidak saling berbeda maka dapat ditulis

Dengan sebagai faktor-faktor prima dan adalah pangkat bulat positif masing-masing untuk

Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa tiap bilangan komposit memiliki faktor prima.

Setiap bilangan positif a adalah bilangan prima jika ia tidak memiliki faktor bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan B yaitu bilangan bulat terbesar yang memiliki sifat B²≤a. (Teorema)

Contoh penerapan teorema ini:

Apakah 907 bilangan prima atau bilangan komposit?

Bilangan itu diperiksa pakah dapat dibagi habis atau tidak oleh bilangan prima 2, 3, 5, 7, hingga 29, karena B dalam kasus ini adalah 30, B² = 30²≤907. Ternyata bilangan-bilangan prima tadi tidak membagi 907. Maka 907 adalah bilangan prima.
Ada beberapa cara menentukan KPK dan FPB yang dikembangkan di tingkat SD dan SMP diantaranya adalah menggunakan teorema faktor dan kelipatan, dan faktorisasi prima (pohon faktor), belum ada buku-buku ditingkatan ini menggunakan metode yang berbeda. Selain menggunakan metode yang lazim di atas akan ditunjukkan bagaimana menentukan KPK dan FPB dengan menggunakan konsep bilangan, konsep irisan pada teori himpunan dan dengan bantuan komputer.

1. Menentukan FPB dengan Menggunakan ALGORITMA EUKLIDES

Algoritma Euklides adalah penerapan Algoritma berkali-kali sampai menghasilkan sisa yang sama dengan nol. Algoritma Euklides dapat dinyatakan sebagai berikut:

Teorema:

Diberikan bilangan bulat b dan c dengan c > 0. Jika kita terapkan Algoritma pembagian berkali-kali maka diperoleh persamaan-persamaan ini.

b = cq₁ + r₁ 0 r₁ < c

c = r₁q₂ + r₂ 0 r₂ < r₁

r₁ = r₂q₃ + r₃ 0 r₃ < r₂

. .

. .

. .

r_j-2 = r_j-1 + r_j 0 r_j<r_j-1

r_{j -1} = r_jq_j+1

FPB b da c, yaitu (b,c) adalah r_j yang merupakan sisa tak nol pada langkah ke – j dalam proses pembagian diatas.

Tentunya, penggunaan metode ini dalam menentukan FPB perlu terlebih dahulu memahami algoritma di atas. Kesulitan yang sering muncul di SD dan SMP dengan menggunakan metode faktorisasi prima adalah ketika bilangan itu bilangan yang besar. Berikut ini akan ditunjukkkan perbandingan penggunaan kedua metode ini dalam contoh berikut:

Contoh1: Tentukan FPB dari 66 dan 50

Menggunakan Metode Faktorisasi Prima	Menggunakan Metode Algoritma Euklides
FPB dari 66 dan 50 adalah 2	Di berikan b = 66 dan c = 50Berdasarkan Algoritma diatas kita dapat nyatakan: 66 = (50) (1) + 16 50 = (16) (3) + 2 16 = (8) (2) à sisa nol Sehingga FPB dari 66 dan 50 adalah 2

Contoh 2: Tentukan FPB dari 866 dan 654

Dengan Algoritma Euklides di peroleh:

866 = (654) (1) + 212

654 = (212) (3) + 18

212 = (18) (11) + 14

18 = (14) (1) + 4

14 = (4) (3) + 2

4 = (2) (2) -> sisa nol

Jadi FPB dari 866 dan 654 adalah 2

Contoh 3: Tentukan FPB dari 790 dan 650

Dengan Algoritma Euklides di peroleh:

790 = (650) (1) + 140

650 = (140) (4) + 90

140 = (90) (1) + 50

90 = (50) (1) + 40

50 = (40) (1) + 10

40 = (10) (4) à sisa nol.

Jadi FPB dari 790 dan 650 adalah 10

Penggunaan Algoritma Euklides ini bisa menjadi salah satu alternatif metode dalam menemukan FPB suatu bilangan, metode ini sangatlah mudah dan tidak terlalu rumit. Metode ini bisa diperkenalkan di tingkat sekolah dasar dan menengah, namun perlu diketahui kelemahan metode ini bahwa hanya dapat diberlakukan untuk dua bilangan saja.

Bagaimana kita menentukan KPK dengan cara ini? Tentunya menjadi pertanyaan bagi setiap pembaca. Algoritma ini tidak dapat menentukan KPK tetapi dengan bantuan Algoritma ini FPB yang sudah ditemukan dapat digunakan untuk membantu kita dalam menentukan KPK dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema:

Untuk dua bilangan bulat positif sebarang a dan b, berlaku hubungan

[a,b](a,b) = a.b

atau dengan kata lain hasil perkalian antara KPK dan FPB sama dengan hasil perkalian kedua bilangan itu.

Terjemahan teorema ini dapat dipahami apabila FPB suatu bilangan sudah kita ketahui, sehingga penentuan FPB lebih awal sangatlah penting. Teorema ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk yang berbeda yaitu.

Atau dengan kata lain, KPK adalah hasil bagi antara perkalian dua bilangan a dan b dengan FPB nya.

Dari contoh 1 di atas, kita dapat menentukan KPK dengan menggunakan teorema di atas yaitu:

KPK dari 66 dan 50

Misalkan a = 66 dan b = 50

a.b = (66) (50) = 3300

(a,b) = 2 à diperoleh dari contoh sebelumnya

Catatan : [a,b] artinya KPK dari a dan b dan (a,b) artinya FPB dari a dan b

2. Menentukan KPK dan FPB dengan Menggunakan Konsep Bilangan Prima (Bilangan Basit).

Teorema bilangan basit, sangat membantu kita dalam menentukan KPK dan FPB suatu bilangan. Hal ini dikarenakan setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan basit.

Teorema tentang bilangan basit (prima) diatas bermanfaat sekali untuk menentukan FPB dan KBK dua bilangan a dan b dengan menggunakan faktor – faktor basitnya dan bentuk-bentuk kanoniknya.

Misalkan

Dengan dimana (i = 1, 2, 3,…., k)

Maka:

- FPB dari a dan b adalah

Dengan lambang menyatakan nilai minimum di antara dua bilangan

- KPK dari a dan b adalah

Dengan lambang menyatakan nilai maksimun di antara dua bilangan .

Contoh 1: Tentukan KPK dan FPB dari 90 dan 120

Berdasarkan teorema di atas, kita akan menguraikan menjadi faktor-faktor basit (prima) dari bilangan-bilangan tersebut.

Misalkan a = 90 à 90 = (2) (3²) (5) (7⁰)

b = 120 à 120 = (2³)(3⁰)(5)(7)

maka FPB = (a,b) = 2^min(1,3) 3^min(2,0) 5^min(1,1) 7^min(0,1) = (2¹)(3⁰)(5¹)(7⁰) = 10

KPK =[a,b]= 2^maks(1,3) 3^maks(2,0) 5^maks(1,1) 7^maks(0,1) = (2³)(3²(5¹)(7¹)= 1260

Contoh 2 : Tentukan KPK dan FPB dari 117 dan 216. (pada contoh 2 ini sebagai latihan untuk para pembaca)

3. Menentukan KPK dan FPB dengan Konsep Irisan Himpunan

Selain dua metode di atas, penulis akan mencoba mengkaji suatu metode untuk menemukan KPK dan FPB dengan menggunakan salah satu konsep irisan pada himpunan. Metode ini, tidak lazim digunakan di tingkat SD maupun di sekolah menengah, namun sebuah metode akan menjadi pilihan bagi siswa apabila diajarkan, semakin kaya metode yang kita miliki, maka akan membawa kita semakin memahami konsep matematika itu sendiri.

KONSEP IRISAN PADA HIMPUNAN

Irisan atau perpotongan pada himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu elemen-elemen yang termasuk anggota A dan juga anggota B, yang dapat dinyatakan dengan symbol dan diagram ven berikut ini

A B di baca A irisan B.

A B adalah yang diberi bayangan

Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g} maka S T = {b, d}.

Keterkaitan konsep ini dengan konsep Pembagi Bersama (Faktor Persekutuan) pada bilangan seperti yang dijelaskan diatas adalah sebagai berikut. (Perhatikan diagram Ven).

Jika terdapat dua bilangan a dan b, memiliki masing-masing pembagi, misalkan K untuk pembagi bilangan a dan M untuk pembagi bilangan b, serta ada L sebagai pembagi bersama untuk bilangan a dan b. maka kita peroleh bahwa

FPB = L dan KPK = K x L x M

Contoh. Tentukan KPK dan FPB dari 32 dan 44

Dalam contoh ini kita akan menentukan pembagi untuk 32 dan 44 serta pembagi bersamanya di peroleh:

32 = 4 x 8 dan 44 = 4 x 11, seperti pada diagram ven berikut.

Sehingga FPB = 4 dan KPK = 8 x 4 x 11 = 352

Sepenggal Cerita

Temaan... kenalkan namaku Dewi. Aku tinggal dikota C.. Aku mau cerita sepenggal tentang kehidupanku..

Saat itu aku sangat bahagia.. kenapa??? Aku beerknalan sama Cici yang tinggal di desa K yang dikenalkan oleh Fery yang tinggal bersebrangan dg kota ku.. lewat telepon yg dikonferensikan dari Fery ke aku dan Cici.. Disitu aku cerita tentang salah satu bintang yang sangat kami idolakan.. Akhirnya aku dan Cici barteran no hp dan sms’n deh..
Beberapa hari setelah Idul Fitri , aku dan salah satu temanku yang bernama Boby ke rumahnya Cici.. Sesmpai dirumahnya, ternyata bukan cuma aku dan Boby.. Disana uda ada Fifi, Aan , n Ridho.. Amat sangat bahagia rasanya, salah satu impianku sedkit demi sedikit terwujudkan.
Minggu berikutnya aku dan ketiga teman ku ke rumahnya Cici. Tapi Boby gag bsa ikut al’a dia balik k Jkt cuz dia gawe.. pii itu gag bikin akk breakdown.. akk n slh stu tmnku yg brnma Zha psan mrcndce k Cici.. uang at bli mrcndce itt hsl jerih payahku.. hsil dr mnyisihkan uang jjan ku.. cuz aku pngn banget itu..
Beberapa mnggu kmudian tmn* yg laen gag kmpul agee. Myb gara* jaoh c k ruma Cici.. mrka cuma 1 kali kmpul.. pii aku ttp smngt! Wlopun dri tmpt ku k tmpt Cici butuh wkt krng lebi 1jam. blm age ujan..pii itt gg bikin aku breakdown..aku ttp smngt wlopun sendirian.
Stlh bbrpa bulan.. trnyt mrcndce blm uga dtng..jd bingung.. Suatu hr Zha btuh duit n dia mnta tlong maa aku at ngmbil duit d Cici.. Aku pun usha k Cici.. aku mnta duit dikmbalikn cuz Zha age btuh bgt.. pii Cici sllu ajj da alsn yg bkin aku mati kutu.
Knp lama kelamaan Cici ssh dihubungi.. aku jdi curiga maa Cici.. aku smpet nnya k Fino knl gag maa yg nm’a Cici.. pii Fino gag knl ma Cici..pdahal kata cici , cici satu sekolah sma fino..
Duuh.. bnr* aneh.. Aku crta ama Fifi tntng ap yg aku rsa’n.. trnyta dia crta smua yg Fifi ktauhi tntng Cici k aku.. astagfirullah..... knp Cici nykiti htku.. pdhl aku prcaya maa dia.. Aku trtipu dg mulut mns’a dia.. Aku bnr* ngrsa brslh maa Zha cuz aku kn yg ngjk Zha ikt gbung.. aku smpet strez mkirin itt. Blm ug di + mslh tntng cinta yg gg da hbs’a.. ..
Setelah beberapa minggu..
Aku krmh’a Cici. Ssmpai’a disna, mama'a Cici mnymbutku.. cuz uda lma gg k ruma Cici. Aku liat wjh mama’a kliatan age sdih. Aku bnr* gg tega ngmng smua’a. Pii aku hrs ktkn itt smua. Akhr’a mama’a Cici tau smua’a. Kea’a smpet kaget. Sblm crta, kta’a Cici age d Jkt. Age krj. Jls* aku kaget lah. Inikan age sbuk* prktek UAS.akhr’a aku pulang dg tngn ksong.NIHIL !!!
Ya Allah ... aku mrsa trtipu .. dibhongi.. dikhianati.. pko’a itt smua bkin aku skit ht. Aku bnr* ngrsa gg enk sma Zha.. Zha.... mf’n aku yah. .. aku gg tau akhr’a jd kea gni.. HARUSKAH KITA IKHLASIN Zha ??? .. itt hak kita Zha ! Cici mrbut aph yg shruz’a kita mliki. .
Kejadian ne ngasii akk pljaran. Kalo aku gg bole prcya bgtu ajj maa orng yg baru kita knal..
Sekian sepenggal crta driku.. hhe.. makasi uda bca.. .