Senin, 20 Juni 2011

MENENTUKAN FPB DAN KPK

Beberapa konsep dasar yang sering tidak dipahami secara tuntas di jenjang SD baik oleh guru maupun oleh siswa sendiri. Beberapa materi ini juga menjadi materi prasyarat dari konsep KPK dan FPB yang akan kita kaji mendalam untuk menemukan beberapa metode yang tidak lazim digunakan di tingkat sekolah dasar dan menengah.

KETERBAGIAN                                                                                                                                         
Defenisi:
“Bilangan bulat b disebut terbagi oleh bilangan bulat a, jika ada bilangan bulat x sehingga b=ax, dapat ditulis sebagai a b untuk “a membagi b” atau “b terbagi a“.
Catatan: istilah “membagi” dan “terbagi” di sini diartikan “membagi habis” atau “terbagi habis” sehingga tidak ada sisa (tak bersisa)
Untuk b = ax, maka
- a di sebut faktor b, atau pembagi b.
- b di sebut juga kelipatan a.
- x di sebut hasil bagi (untuk a 0)
Contoh :
§ 6 membagi 24 atau 24 terbagi 6 karena ada bilangan x sehingga 24 = 6 . x (dimana x = 4, merupakan hasil bagi).
§ 4 tidak membagi 30 karena tidak ada bilangan x, sehingga 30 = 4.x (tidak ada nilai x yang memenuhi)
ALGORITMA PEMBAGIAN
Teorema:
Untuk bilangan bulat sebarang a dan b dengan a>0, ada bilangan bulat q dan r sehingga:
b = qa + r dengan 0 r a.
di mana bilangan r disebut sisa pembagian b oleh a dan q disebut sisa hasil bagi b oleh a.
Suatu algoritma adalah suatu cara memperoleh suatu hasil dengan menerapkan berkali-kali suatu operasi, sedemikian sehingga sebuah unsur yang di dapat dari satu kali menerapkan operasi itu dipakai paling kurang satu kali dalam terapan berikutnya, hingga diperoleh hasil yang diinginkan. Algoritma pembagian ini di tingkat sekolah dasar dan menengah di sebut Teorema Sisa.
PEMBAGI BERSAMA
Istilah pembagi bersama di tingkat sekolah dasar dan menengah lebih lazim di kenal dengan faktor persekutuan.
Defenisi:
Suatu bilangan bulat a disebut pembagi bersama b dan c, jika a membagi b dan a membagi c (aIb dan aIc)
Tiap bilangan bulat tak nol hanya memiliki sejumlah terbatas pembagi saja (faktor saja), sehingga banyaknya pembagi bersama untuk b dan c hanya ada sejumlah terbatas saja, kecuali untuk kasus b = c = 0.
Bilangan 1 akan membagi tiap bilangan. Maka 1 merupakan pembagi bersama dua bilangan bulat sembarang a dan b sehingga tiap pasang bilangan bulat akan selalu memiliki pembagi bersama (faktor persekutuan).
Jika paling kurang satu diantara bilangan-bilangan bulat b dan c adalah tidak nol maka yang terbesar di antara pembagi-pembagi bersamanya yang positif disebut Pembagi Bersama Terbesar (PBT) b dan c. dapat di tulis (b,c) sebagai PBT b dan c. Istilah Pembagi Bersama Terbesar (PBT) di SD di sebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).
Teorema:
Jika (b,c) = g, yaitu g PBT untuk b dan c maka berlaku “g membagi b” dan “g membagi c”. jika ada h yang membagi b dan c, maka h ≤ g
KELIPATAN BERSAMA
Defenisi:
Bilangan-bilangan bulat a1, a2, a3,…….,an, masing-masing tak nol, memiliki kelipatan bersama bersama b, jika aib untuk i = 1, 2, 3, …………..,n.
Untuk bilangan-bilangan bulat a1, a2, a3,…….,an, masing-masing tak nol, Kelipatan Bersama Terkecil (KBT) mereka adalah bilangan positif yang terkecil diantara kelipatan-kelipatan bersama untuk a1, a2, a3,…….,an, itu. Kita lambangkan [a1,a2] sebagai KBT a1 dan a2 dan [a1, a2, a3,…….,an] sebagai KBT dari a1, a2, a3,…….,an.
Teorema:
Jika b suatu kelipatan bersama a1, a2, a3,…….,an maka [a1, a2, a3,…….,an]Ib. dengan kata lain, jika h KBT untuk a1, a2, a3,…….,an yaitu h =[ a1, a2, a3,…….,an,] maka 0, ± h, ±2h, ±3h, …. Merupakan kelipatan-kelipatan bersama a1, a2, a3,…….,an. Bilangan b tadi salah satu dari kelipatan-kelipatan itu.
Istilah Kelipatan Bersama Terkecil (KBT) pada jenjang SD disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
BILANGAN PRIMA (BASIT)
Defenisi:
Sebuah bilangan bulat P > 1 dinamakan bilangan Prima (P prima) jika tidak ada bilangan d pembagi p, yang memenuhi 1<d<p. Defenisi ini di tingkat SD disederhanakan menjadi bilangan Prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi 1 dan dengan bilangan itu sendiri. Bilangan yang bukan prima di sebut bilangan komposit.
Yang menjadi permasalahan kadang kala di jenjang SD adalah bagaimana membuktikan bilangan itu sebagai bilangan prima atau bukan prima (komposit). Untuk membantu menjawab permasalahan ini, kita memerlukan beberapa teorema dalam hal ini.
Tiap bilangan bulat n > 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima (teorema).
Teorema ini akan sangat membantu kita menemukan apakah bilangan itu prima atau bukan prima.
- Jika n adalah bilangan prima maka n adalah faktor primanya sendiri.
- Jika n adalah bilangan komposit, misalnya n = n1n2 dengan 1<n1<n dan 1<n2<n.
Jadi tiap bilangan n dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Karena faktor-faktor yang prima itu mungkin tidak saling berbeda maka dapat ditulis
Dengan sebagai faktor-faktor prima dan adalah pangkat bulat positif masing-masing untuk
Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa tiap bilangan komposit memiliki faktor prima.
Setiap bilangan positif a adalah bilangan prima jika ia tidak memiliki faktor bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan B yaitu bilangan bulat terbesar yang memiliki sifat B2≤a. (Teorema)
Contoh penerapan teorema ini:
Apakah 907 bilangan prima atau bilangan komposit?
Bilangan itu diperiksa pakah dapat dibagi habis atau tidak oleh bilangan prima 2, 3, 5, 7, hingga 29, karena B dalam kasus ini adalah 30, B2 = 302≤907. Ternyata bilangan-bilangan prima tadi tidak membagi 907. Maka 907 adalah bilangan prima.
Ada beberapa cara menentukan KPK dan FPB yang dikembangkan di tingkat SD dan SMP diantaranya adalah menggunakan teorema faktor dan kelipatan, dan faktorisasi prima (pohon faktor), belum ada buku-buku ditingkatan ini menggunakan metode yang berbeda. Selain menggunakan metode yang lazim di atas akan ditunjukkan bagaimana menentukan KPK dan FPB dengan menggunakan konsep bilangan, konsep irisan pada teori himpunan dan dengan bantuan komputer.
1. Menentukan FPB dengan Menggunakan ALGORITMA EUKLIDES
Algoritma Euklides adalah penerapan Algoritma berkali-kali sampai menghasilkan sisa yang sama dengan nol. Algoritma Euklides dapat dinyatakan sebagai berikut:
Teorema:
Diberikan bilangan bulat b dan c dengan c > 0. Jika kita terapkan Algoritma pembagian berkali-kali maka diperoleh persamaan-persamaan ini.
b = cq1 + r1 0 r1 < c
c = r1q2 + r2 0 r2 < r1
r1 = r2q3 + r3 0 r3 < r2
. .
. .
. .
rj-2 = rj-1 + rj 0 rj<rj-1
rj -1 = rjqj+1
FPB b da c, yaitu (b,c) adalah rj yang merupakan sisa tak nol pada langkah ke – j dalam proses pembagian diatas.
Tentunya, penggunaan metode ini dalam menentukan FPB perlu terlebih dahulu memahami algoritma di atas. Kesulitan yang sering muncul di SD dan SMP dengan menggunakan metode faktorisasi prima adalah ketika bilangan itu bilangan yang besar. Berikut ini akan ditunjukkkan perbandingan penggunaan kedua metode ini dalam contoh berikut:
Contoh1: Tentukan FPB dari 66 dan 50
Menggunakan Metode Faktorisasi Prima Menggunakan Metode Algoritma Euklides
FPB dari 66 dan 50 adalah 2 Di berikan b = 66 dan c = 50Berdasarkan Algoritma diatas kita dapat nyatakan:
66 = (50) (1) + 16
50 = (16) (3) + 2
16 = (8) (2) à sisa nol
Sehingga FPB dari 66 dan 50 adalah 2
Contoh 2: Tentukan FPB dari 866 dan 654
Dengan Algoritma Euklides di peroleh:
866 = (654) (1) + 212
654 = (212) (3) + 18
212 = (18) (11) + 14
18 = (14) (1) + 4
14 = (4) (3) + 2
4 = (2) (2) -> sisa nol
Jadi FPB dari 866 dan 654 adalah 2
Contoh 3: Tentukan FPB dari 790 dan 650
Dengan Algoritma Euklides di peroleh:
790 = (650) (1) + 140
650 = (140) (4) + 90
140 = (90) (1) + 50
90 = (50) (1) + 40
50 = (40) (1) + 10
40 = (10) (4) à sisa nol.
Jadi FPB dari 790 dan 650 adalah 10
Penggunaan Algoritma Euklides ini bisa menjadi salah satu alternatif metode dalam menemukan FPB suatu bilangan, metode ini sangatlah mudah dan tidak terlalu rumit. Metode ini bisa diperkenalkan di tingkat sekolah dasar dan menengah, namun perlu diketahui kelemahan metode ini bahwa hanya dapat diberlakukan untuk dua bilangan saja.
Bagaimana kita menentukan KPK dengan cara ini? Tentunya menjadi pertanyaan bagi setiap pembaca. Algoritma ini tidak dapat menentukan KPK tetapi dengan bantuan Algoritma ini FPB yang sudah ditemukan dapat digunakan untuk membantu kita dalam menentukan KPK dengan menggunakan teorema berikut.
Teorema:
Untuk dua bilangan bulat positif sebarang a dan b, berlaku hubungan
[a,b](a,b) = a.b
atau dengan kata lain hasil perkalian antara KPK dan FPB sama dengan hasil perkalian kedua bilangan itu.
Terjemahan teorema ini dapat dipahami apabila FPB suatu bilangan sudah kita ketahui, sehingga penentuan FPB lebih awal sangatlah penting. Teorema ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk yang berbeda yaitu.
Atau dengan kata lain, KPK adalah hasil bagi antara perkalian dua bilangan a dan b dengan FPB nya.
Dari contoh 1 di atas, kita dapat menentukan KPK dengan menggunakan teorema di atas yaitu:
KPK dari 66 dan 50
Misalkan a = 66 dan b = 50
a.b = (66) (50) = 3300
(a,b) = 2 à diperoleh dari contoh sebelumnya
Catatan : [a,b] artinya KPK dari a dan b dan (a,b) artinya FPB dari a dan b
2. Menentukan KPK dan FPB dengan Menggunakan Konsep Bilangan Prima (Bilangan Basit).
Teorema bilangan basit, sangat membantu kita dalam menentukan KPK dan FPB suatu bilangan. Hal ini dikarenakan setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan basit.
Teorema tentang bilangan basit (prima) diatas bermanfaat sekali untuk menentukan FPB dan KBK dua bilangan a dan b dengan menggunakan faktor – faktor basitnya dan bentuk-bentuk kanoniknya.
Misalkan
Dengan dimana (i = 1, 2, 3,…., k)
Maka:
- FPB dari a dan b adalah
Dengan lambang menyatakan nilai minimum di antara dua bilangan
- KPK dari a dan b adalah
Dengan lambang menyatakan nilai maksimun di antara dua bilangan .
Contoh 1: Tentukan KPK dan FPB dari 90 dan 120
Berdasarkan teorema di atas, kita akan menguraikan menjadi faktor-faktor basit (prima) dari bilangan-bilangan tersebut.
Misalkan a = 90 à 90 = (2) (32) (5) (70)
b = 120 à 120 = (23)(30)(5)(7)
maka FPB = (a,b) = 2min(1,3) 3min(2,0) 5min(1,1) 7min(0,1) = (21)(30)(51)(70) = 10
KPK =[a,b]= 2maks(1,3) 3maks(2,0) 5maks(1,1) 7maks(0,1) = (23)(32(51)(71)= 1260
Contoh 2 : Tentukan KPK dan FPB dari 117 dan 216. (pada contoh 2 ini sebagai latihan untuk para pembaca)
3. Menentukan KPK dan FPB dengan Konsep Irisan Himpunan
Selain dua metode di atas, penulis akan mencoba mengkaji suatu metode untuk menemukan KPK dan FPB dengan menggunakan salah satu konsep irisan pada himpunan. Metode ini, tidak lazim digunakan di tingkat SD maupun di sekolah menengah, namun sebuah metode akan menjadi pilihan bagi siswa apabila diajarkan, semakin kaya metode yang kita miliki, maka akan membawa kita semakin memahami konsep matematika itu sendiri.
KONSEP IRISAN PADA HIMPUNAN
Irisan atau perpotongan pada himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu elemen-elemen yang termasuk anggota A dan juga anggota B, yang dapat dinyatakan dengan symbol dan diagram ven berikut ini
A B di baca A irisan B.
A B adalah yang diberi bayangan
Misalkan S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g} maka S T = {b, d}.
Keterkaitan konsep ini dengan konsep Pembagi Bersama (Faktor Persekutuan) pada bilangan seperti yang dijelaskan diatas adalah sebagai berikut. (Perhatikan diagram Ven).
Jika terdapat dua bilangan a dan b, memiliki masing-masing pembagi, misalkan K untuk pembagi bilangan a dan M untuk pembagi bilangan b, serta ada L sebagai pembagi bersama untuk bilangan a dan b. maka kita peroleh bahwa
FPB = L dan KPK = K x L x M
Contoh. Tentukan KPK dan FPB dari 32 dan 44
Dalam contoh ini kita akan menentukan pembagi untuk 32 dan 44 serta pembagi bersamanya di peroleh:
32 = 4 x 8 dan 44 = 4 x 11, seperti pada diagram ven berikut.
Sehingga FPB = 4 dan KPK = 8 x 4 x 11 = 352

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar